Родился художник в 1872 году в Москве в семье купца I гильдии Василия Васильевича Зворыкина и Елизаветы Оттовны. После окончания гимназии Зворыкин учился в Московском училище живописи, ваяния и зодчества в 1892-1893 годах, где будущим мастерам прививали вкус к родному, национальному, а уже в 1898 году выходят первые книги с его иллюстрациями.

Художник начал творческую деятельность в области прикладной графики и оформления историко-художественных альбомов, юбилейных и подарочных книг, настольных и настенных календарей, праздничных открыток. Что касается поздравительных карточек и открытых писем, то в начале прошлого века Зворыкин считался самым признанным и востребованным автором подобной продукции. Он выполнил акварелью серии художественных открыток на темы «Смутное время», «Нашествие Наполеона 1812 года», «Русские дети», «Пословицы», «Русские храмы», «Русские былины», «Охота» и др. Одновременно занимался соборной росписью.

Среди значимых работ Зворыкина – росписи Федоровского Государева собора в Царском Селе (1902-1912), затем обора Святого Александра Невского в Симферополе.

Первым удачным опытом в области иллюстрации детской книги стала «Сказка о золотом петушке» А. С. Пушкина, изданное в 1903 году Товариществом скоропечатни А. А. Левенсона. Еще до революции 1917 года он оформил несколько сказок для детей: «Про Марью Моревну» (1904), «Комар и ласточка» (1904), «Приключения зайчика» (1912), «Из детства Литы» (1913), «За родину!» (1915), «Горькая луковка» (1915), «Яга и земляничка» (1916), «Рождественский дед» (1917) и др. Художник также оформлял юбилейные книги: «Альбом в память семидесятилетнего юбилея императорского Московского общества поощрения рысистого коннозаводства» (1911), «Календарь на 1912 год. В память столетнего юбилея Отечественной войны». Его привлекали к оформлению приглашений и программ юбилейных торжеств, театральных программок, меню высочайших обедов, поздравительных адресов.

В 1915 г. Зворыкин наряду с другими известными художниками (И. Билибиным, В. Васнецовым, К. Маковским, М. Нестеровым, Н. Рерихом), литераторами, архитекторами и общественными деятелями стал учредителем «Общества возрождения художественной Руси». Эта организация собирала сведения о художественных памятниках старины, разрабатывала учебные программы для рисовальных школ и награждала премиями учеников Императорского общества поощрения художеств.

В 1917 году художник оформил Послание Поместного собора о восстановлении патриаршества (20-метровый манускрипт, написанный от руки в стиле XVII века и украшенный фигурами святых), выполнил эскиз Патриаршей печати, оформил Личное послание патриарха Тихона главам зарубежных христианских церквей.

В конце 1917 – начале 1918 года мастер иллюстрации сотрудничал с детским альманахом «Творчество», художественно оформил сказку А. М. Ремизова «Товарищи», книгу В. М. Волжанина «Древняя Русь в пословицах и поговорках» и пр. Зворыкин понял, что при всей своей любви к Родине и русскому народному творчеству принять Страну Советов он не в состоянии и в 1921 году покинул Россию.

Сначала оказался в Египте, спустя несколько месяцев перебрался в Париж, но опять же не прибился ни к какому обществу. На рынке произведений искусства его продукция имела спрос. У французской публики появился интерес к русской культуре. В 1921 году Зворыкин оформил книги «Москва и деревня в гравюрах и литографиях» Г. К. Лукомского, «Исповедь» М. А. Бакунина. В 1922 году Борис Васильевич профессионально выполнил заказ на видовые иллюстрации к книге Анри де Винделя «История Советов», «Поэмы» А. де Мюссе и др. В 1925 году в Париже была опубликована книга «Золотой петушок» и другие сказки А. С. Пушкина, иллюстрированные Зворыкиным.

Наиболее значимая работа художника – оформление «Бориса Годунова» А. А. Пушкина (1927). В 1935 году мастер участвовал в выставке иконописи. Борис Васильевич написал несколько икон для храма Христа Спасителя в Аньер-сюр-Сен. Находясь вдали от Родины, художник оставался верен русской теме, которую отражал в своем творчестве.
Зворыкин перевел на французский язык и сам проиллюстрировал русские сказки «Снегурочка», «Василиса Прекрасная», «Марья Моревна», «Жар-Птица».

Выдающийся русский художник скончался в оккупированном немцами Париже в начале 1942 года.